Home » wiskunde

Tag: wiskunde

Fibonacci en de bijen

Een tijdje geleden schreef ik een blog over wiskunde en bijen. Het blijft fascineren hoeveel interessante wiskunde in de natuur te zien is. Leuk was ook dat de site www.math4all.nl mijn blogje oppikte en op hun site zette. Dat motiveert om over wiskunde te blijven schrijven op deze weblog. Deze blog gaat over darren en de rij van Fibonacci. Dit is een reeks getallen waarbij elk getal de som is van de twee voorgaande getallen. De eerste twee zijn 0 en 1 daarna volgen dus 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en ga zo maar door.

Het huisblad van Natuurmonumenten, Puur Natuur, schreef in het laatste nummer over patronen in de natuur. Een voorbeeld dat ze noemden was de dar, de mannelijke honingbij. Voortplanting bij bijen is interessant, want de mannetjes, darren, hebben geen vader, alleen een moeder. Vrouwtjes, dat zijn werksterbijen en koninginnen, hebben twee ouders: een dar en een koningin. Dit komt omdat een dar uit een onbevruchte eicel voortkomt en een vrouwtjesbij uit een bevrchte eicel. Eén (1) dar heeft dus één (1) ouder, de koningin. De koningin is een vrouwtje en die komt voort uit een bevruchte eicel. Zij heeft dus een vader en een moeder, de dar waarmee we begonnen zijn, heeft dus twee (2) grootouders, een dar en een koningin. Deze twee grootouders hebben 1 (de dar) + 2 (de koningin) ouders. Onze dar heeft dus  drie (3) overgrootouders: 2 koninginnen een dar. 2 koninginnen hebben 4 ouders, een dar 1. De dar heeft dus 5 betovergrootouders. Reken rustig verder en we komen op de volgende reeks per generatie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … bijen als we de generaties naar boven oplopen en aannemen dat er geen inteelt plaatsvindt. De reeks 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 is dus geen toevallige reeks. Het is de reeks van Fibonacci.

Zie hieronder de stamboom van een dar.

bijengeneraties volgens Fibonacci
bijengeneraties

Elke generatie bestaat dus uit het aantal bijen dat gelijk is aan het bijbehorende getal uit de rij van Fibonacci. Denk de dar uit generatie 1 weg en je ziet ook vanaf het vrouwtje in generatie 2 (kan in dat geval een werkster of koningin zijn) een deel vanaf de rij van Fibonacci.

Kijken we eens alleen naar de vrouwelijke voorouders van de dar. Hij heeft 1 moeder, 1 grootmoeder, 2 overgrootmoeders, 3 over-overgrootmoeders, 5 over-over-overgrootmoeders en ga zo maar door.

Kijken we nu eens naar de mannelijke voorouders van de dar. Hij heeft 0 vaders  (0 is ook wel het nulde getal van Fibonacci), 1 grootvader, 1 overgrootvader, 2 over-over-overgrootvaders, 3 over-over-overgrootvaders en ga maar door.

In elke lijn zien we de rij van Fibonacci terugkomen!

De verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonaccigetallen is aan het begin van de reeks nog 1:1, 1:2, 1:1,5. Maar convergeert langzaam naar een in de wiskunde interessant getal. Laten we het zevende en het zesde getal eens op elkaar delen. Dat zijn 13 en 8. 13:8=1,625. Het negentiende en het twintigste getal zijn 6765 en 4181. Op elkaar gedeeld geeft dat 1,618. Je ziet we blijven in de buurt. Hoe verder je gaat hoe dichter je het magische wiskundige getal Phi ( φ) nadert. De verhouding 1:φ staat bekend als de mooiste verhouding die er is. En je komt hem in de natuur veel tegen. Zie ook dit filmpje dat ik onlangs op Facebook tegenkwam.

Bijzonder beestje hè, die honingbij?

De wiskunde van de honingraat

Veel mensen hebben een hekel aan wiskunde, ik niet. Ik vind het juist mooi om wiskunde terug te zien in de natuur. Zo is er het bekende voorbeeld van de gulden snede, een bijzondere verhouding die je in heel veel dingen in de natuur terugziet. De interessantste vraag die een wiskundige kan stellen aan bijen is: “Waarom maken jullie een bijenraat in precies die vorm?” Een bijenraat of honingraat heeft namelijk een opvallend regelmatige structuur. Stel je een campingterrein voor. Iedereen mag zijn tent zetten waar hij maar wil. Op een gegeven moment is het terrein vol. Er zal een soort van structuur ontstaan zijn, op een gezinscamping wellicht iets meer dan op het campingveld van Lowlands, maar om nou te spreken van een regelmatige opvulling van het veld? Nee. En zelfs als er een centrale leider is die mensen aanwijzingen geeft waar ze mogen staan en hoe, dan nog zal de vulling van het veld niet zo mooi regelmatig zijn als de vlakvulling van de honingraat.

ID-10025135
Afbeelding afkomstig van nattavut op FreeDigitalPhotos.net

Er bestaat een vermoeden dat de honingraat, of voor wie wil een regelmatige vlakvulling van hexagonen, de best mogelijke manier is om een oppervlak in gebieden te verdelen met dezelfde oppervlakte. Dit vermoeden is ouder dan onze jaartelling, maar is pas in 1999 door de wiskundige Thomas Hales bewezen. Laten we de honingraat eens onder de loep nemen. We zien maar één vorm: de regelmatige zeshoek of hexagoon. We noemen hem regelmatig als alle zijden even lang zijn en de hoek tussen elke twee aan elkaar grenzende zijden even groot is. In het geval van een zeshoek 120°. En met deze vorm wordt het hele vlak gevuld. We noemen dit een regelmatige vlakvulling. M.C. Escher is ook beroemd van vlakvullingen, maar die zijn niet regelmatig.

Afbeelding afkomstig van Idea go op FreeDigitalPhotos.net
Afbeelding afkomstig van Idea go op FreeDigitalPhotos.net

Hoe zijn die beestjes nou precies op deze vorm gekomen? Als je een vlak wilt vullen, zou ik voor dezelfde vorm kiezen en daar het hele vlak mee opvullen. Want anders krijg je teveel snijverlies. We zoeken dus naar een vorm die prettig is voor de bijen om honing in op te slaan, eitjes in te leggen en stuifmeelkorrels op te slaan. Én deze vorm moet ook een heel vlak kunnen opvullen. Een cirkel zou optimaal zijn, want die heeft het minste oppervlak per inhoud, dus bijen hebben het minste was nodig per cel. Cirkels hebben echter een nadeel, je kunt er geen vlak mee opvullen. Bekend is het probleem van sinaasappels of kanonskogels stapelen. Bollen kun je dicht op elkaar stapelen, maar er blijft altijd ruimte tussen. Jaren hebben wiskundigen gezocht naar de meest efficiënte stapelwijze? De astronoom  Kepler zei in 1609 deze gevonden te hebben. Zijn vermoeden werd in 1998 bewezen door … Thomas Hales.

Er zijn exact drie regelmatige betegelingen mogelijk. Die van de gelijkzijdige driehoek, die van het vierkant én die van de hexagoon. De honingbij is zo slim geweest om de betegeling te nemen met het regelmatige veelvlak dat het meest op een cirkel lijkt. Ingenieus beestje.