Home » Hales

Tag: Hales

De wiskunde van de honingraat

Veel mensen hebben een hekel aan wiskunde, ik niet. Ik vind het juist mooi om wiskunde terug te zien in de natuur. Zo is er het bekende voorbeeld van de gulden snede, een bijzondere verhouding die je in heel veel dingen in de natuur terugziet. De interessantste vraag die een wiskundige kan stellen aan bijen is: “Waarom maken jullie een bijenraat in precies die vorm?” Een bijenraat of honingraat heeft namelijk een opvallend regelmatige structuur. Stel je een campingterrein voor. Iedereen mag zijn tent zetten waar hij maar wil. Op een gegeven moment is het terrein vol. Er zal een soort van structuur ontstaan zijn, op een gezinscamping wellicht iets meer dan op het campingveld van Lowlands, maar om nou te spreken van een regelmatige opvulling van het veld? Nee. En zelfs als er een centrale leider is die mensen aanwijzingen geeft waar ze mogen staan en hoe, dan nog zal de vulling van het veld niet zo mooi regelmatig zijn als de vlakvulling van de honingraat.

ID-10025135
Afbeelding afkomstig van nattavut op FreeDigitalPhotos.net

Er bestaat een vermoeden dat de honingraat, of voor wie wil een regelmatige vlakvulling van hexagonen, de best mogelijke manier is om een oppervlak in gebieden te verdelen met dezelfde oppervlakte. Dit vermoeden is ouder dan onze jaartelling, maar is pas in 1999 door de wiskundige Thomas Hales bewezen. Laten we de honingraat eens onder de loep nemen. We zien maar één vorm: de regelmatige zeshoek of hexagoon. We noemen hem regelmatig als alle zijden even lang zijn en de hoek tussen elke twee aan elkaar grenzende zijden even groot is. In het geval van een zeshoek 120°. En met deze vorm wordt het hele vlak gevuld. We noemen dit een regelmatige vlakvulling. M.C. Escher is ook beroemd van vlakvullingen, maar die zijn niet regelmatig.

Afbeelding afkomstig van Idea go op FreeDigitalPhotos.net
Afbeelding afkomstig van Idea go op FreeDigitalPhotos.net

Hoe zijn die beestjes nou precies op deze vorm gekomen? Als je een vlak wilt vullen, zou ik voor dezelfde vorm kiezen en daar het hele vlak mee opvullen. Want anders krijg je teveel snijverlies. We zoeken dus naar een vorm die prettig is voor de bijen om honing in op te slaan, eitjes in te leggen en stuifmeelkorrels op te slaan. Én deze vorm moet ook een heel vlak kunnen opvullen. Een cirkel zou optimaal zijn, want die heeft het minste oppervlak per inhoud, dus bijen hebben het minste was nodig per cel. Cirkels hebben echter een nadeel, je kunt er geen vlak mee opvullen. Bekend is het probleem van sinaasappels of kanonskogels stapelen. Bollen kun je dicht op elkaar stapelen, maar er blijft altijd ruimte tussen. Jaren hebben wiskundigen gezocht naar de meest efficiënte stapelwijze? De astronoom  Kepler zei in 1609 deze gevonden te hebben. Zijn vermoeden werd in 1998 bewezen door … Thomas Hales.

Er zijn exact drie regelmatige betegelingen mogelijk. Die van de gelijkzijdige driehoek, die van het vierkant én die van de hexagoon. De honingbij is zo slim geweest om de betegeling te nemen met het regelmatige veelvlak dat het meest op een cirkel lijkt. Ingenieus beestje.