Home » Fibonacci en de bijen

Fibonacci en de bijen

Een tijdje geleden schreef ik een blog over wiskunde en bijen. Het blijft fascineren hoeveel interessante wiskunde in de natuur te zien is. Leuk was ook dat de site www.math4all.nl mijn blogje oppikte en op hun site zette. Dat motiveert om over wiskunde te blijven schrijven op deze weblog. Deze blog gaat over darren en de rij van Fibonacci. Dit is een reeks getallen waarbij elk getal de som is van de twee voorgaande getallen. De eerste twee zijn 0 en 1 daarna volgen dus 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en ga zo maar door.

Het huisblad van Natuurmonumenten, Puur Natuur, schreef in het laatste nummer over patronen in de natuur. Een voorbeeld dat ze noemden was de dar, de mannelijke honingbij. Voortplanting bij bijen is interessant, want de mannetjes, darren, hebben geen vader, alleen een moeder. Vrouwtjes, dat zijn werksterbijen en koninginnen, hebben twee ouders: een dar en een koningin. Dit komt omdat een dar uit een onbevruchte eicel voortkomt en een vrouwtjesbij uit een bevrchte eicel. Eén (1) dar heeft dus één (1) ouder, de koningin. De koningin is een vrouwtje en die komt voort uit een bevruchte eicel. Zij heeft dus een vader en een moeder, de dar waarmee we begonnen zijn, heeft dus twee (2) grootouders, een dar en een koningin. Deze twee grootouders hebben 1 (de dar) + 2 (de koningin) ouders. Onze dar heeft dus  drie (3) overgrootouders: 2 koninginnen een dar. 2 koninginnen hebben 4 ouders, een dar 1. De dar heeft dus 5 betovergrootouders. Reken rustig verder en we komen op de volgende reeks per generatie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … bijen als we de generaties naar boven oplopen en aannemen dat er geen inteelt plaatsvindt. De reeks 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 is dus geen toevallige reeks. Het is de reeks van Fibonacci.

Zie hieronder de stamboom van een dar.

bijengeneraties volgens Fibonacci
bijengeneraties

Elke generatie bestaat dus uit het aantal bijen dat gelijk is aan het bijbehorende getal uit de rij van Fibonacci. Denk de dar uit generatie 1 weg en je ziet ook vanaf het vrouwtje in generatie 2 (kan in dat geval een werkster of koningin zijn) een deel vanaf de rij van Fibonacci.

Kijken we eens alleen naar de vrouwelijke voorouders van de dar. Hij heeft 1 moeder, 1 grootmoeder, 2 overgrootmoeders, 3 over-overgrootmoeders, 5 over-over-overgrootmoeders en ga zo maar door.

Kijken we nu eens naar de mannelijke voorouders van de dar. Hij heeft 0 vaders  (0 is ook wel het nulde getal van Fibonacci), 1 grootvader, 1 overgrootvader, 2 over-over-overgrootvaders, 3 over-over-overgrootvaders en ga maar door.

In elke lijn zien we de rij van Fibonacci terugkomen!

De verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonaccigetallen is aan het begin van de reeks nog 1:1, 1:2, 1:1,5. Maar convergeert langzaam naar een in de wiskunde interessant getal. Laten we het zevende en het zesde getal eens op elkaar delen. Dat zijn 13 en 8. 13:8=1,625. Het negentiende en het twintigste getal zijn 6765 en 4181. Op elkaar gedeeld geeft dat 1,618. Je ziet we blijven in de buurt. Hoe verder je gaat hoe dichter je het magische wiskundige getal Phi ( φ) nadert. De verhouding 1:φ staat bekend als de mooiste verhouding die er is. En je komt hem in de natuur veel tegen. Zie ook dit filmpje dat ik onlangs op Facebook tegenkwam.

Bijzonder beestje hè, die honingbij?

2 comments

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *